Tenemos dos circunferencias, $C_1$ y $C_2$, y queremos encontrar cuáles son los puntos de intersección. Es decir, estamos buscando los puntos que pertenecen a
ambas, que verifican
ambas ecuaciones:
$\begin{cases} x^{2}-10x+y^{2}-8y+31=0 \\ x^{2}+y^{2}-5y-4x + 4= 0\end{cases}$
Así que, si queremos encontrar los puntos $(x,y)$ que verifican estas dos ecuaciones, tenemos que resolver el sistema.
Una manera de resolver esto (no es la única, pero creo que es una bastante conveniente) es arrancar restando ambas ecuaciones:
$x^{2}-10x+y^{2}-8y+31 - (x^{2}+y^{2}-5y-4x + 4) = 0$
$x^{2}-10x+y^{2}-8y+31 - x^{2}-y^{2}+5y +4x -4 = 0$
Reacomodamos, y fijate que algunas cosas se nos van, como $x^2$ y $y^2$ (por eso yo había visto de entrada la opción de restar ambas ecuaciones como algo conveniente para encarar este sistema)
$-6x - 3y + 27 = 0$
Acá tenemos una ecuación que nos relaciona nuestras dos incógnitas, $x$ e $y$. Por ejemplo, yo voy a elegir despejar de acá $y$...
$y = 9 - 2x$
...y reemplazo esto en alguna de las dos ecuaciones del sistema (la que prefiera, me debería dar lo mismo)
$x^{2}+y^{2}-5y-4x=-4$
$x^{2} + (9 - 2x)^2 - 5(9 - 2x) - 4x = -4$
Ahora tengo una ecuación que depende únicamente de $x$, así que despejamos ;)
Abrimos ese cuadrado, hacemos distributiva...
$x^{2} + 81 - 36x + 4x^2 - 45 + 10x - 4x = -4$
Juntamos todo...
$5x^2 - 30x + 40 = 0$
Tenemos una cuadrática igualada a cero, usando la resolvente obtenemos dos soluciones -> $x_1 = 2$ y $x_2 = 4$
Ahora usamos $y = 9 - 2x$ para obtener la coordenada $y$ en cada caso:
-> Para $x=2$ obtenemos $y = 5$, con lo cual un punto de intersección es el $(2,5)$ ✔️
-> Para $x = 4$ obtenemos $y = 1$, con lo cual el otro punto de intersección es el $(4,1)$ ✔️
Te dejo para vos que grafiques las dos circunferencias en GeoGebra y chequees que efectivamente esos son los dos puntos de intersección :)
